04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبر∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الجزء الأول والثاني) — ورقة مرجعية
تربط بين فرعي التفاضل والتكامل بإثبات أن التكامل المحدد هو العملية العكسية الدقيقة للاشتقاق.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
الصيغ البديلة
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
المدخلات والمعاملات
[1]
[1]
[1]
[1]
النتيجة المحسوبة (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الجزء الأول والثاني) — ورقة مرجعية أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الجزء الأول والثاني) — ورقة مرجعية وفق المعادلة ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x) فوريًا داخل متصفحك. تربط بين فرعي التفاضل والتكامل بإثبات أن التكامل المحدد هو العملية العكسية الدقيقة للاشتقاق.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الجزء الأول والثاني) — ورقة مرجعية؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الجزء الأول والثاني) — ورقة مرجعية والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.