04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンス∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
微分積分の基本定理（第1・第2定理）— 公式と意味の解説
「微分すること」と「面積を求める定積分」が互いに逆の操作であることを示し、微分学と積分学をひとつに結びつける中心定理です。
公式リファレンス
基本公式
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
変形した式
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[1]
[1]
計算結果 (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
公式の解説・背景
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
具体的な計算例
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
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よくある質問（FAQ）
微分積分の基本定理（第1・第2定理）— 公式と意味の解説の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、微分積分の基本定理（第1・第2定理）— 公式と意味の解説（数式: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。「微分すること」と「面積を求める定積分」が互いに逆の操作であることを示し、微分学と積分学をひとつに結びつける中心定理です。
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はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
微分積分の基本定理（第1・第2定理）— 公式と意味の解説のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
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