04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्र∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
कैलकुलस की मूल प्रमेय (भाग 1 और भाग 2) — संदर्भ शीट
अवकलन और समाकलन को एक-दूसरे की विपरीत प्रक्रिया सिद्ध कर निश्चित समाकल का सटीक मान निकालने की आधारशिला।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
अन्य रूप
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
इनपुट और मान
[1]
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गणना का परिणाम (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
हल किए गए उदाहरण
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
कैलकुलस की मूल प्रमेय (भाग 1 और भाग 2) — संदर्भ शीट ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत कैलकुलस की मूल प्रमेय (भाग 1 और भाग 2) — संदर्भ शीट (सूत्र: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। अवकलन और समाकलन को एक-दूसरे की विपरीत प्रक्रिया सिद्ध कर निश्चित समाकल का सटीक मान निकालने की आधारशिला।
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हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।