04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्र∫ u dv = u · v − ∫ v du
खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र — LIATE नियम और निश्चित समाकल
अवकलन के गुणन नियम को उलटकर दो फलनों के गुणनफल के कठिन समाकलन को सरल समाकलन में बदलने का सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
∫ u dv = u · v − ∫ v du
अन्य रूप
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
इनपुट और मान
[1]
[1]
गणना का परिणाम (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
हल किए गए उदाहरण
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
क्या यह टूल आपके लिए उपयोगी रहा?
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र — LIATE नियम और निश्चित समाकल ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र — LIATE नियम और निश्चित समाकल (सूत्र: ∫ u dv = u · v − ∫ v du) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। अवकलन के गुणन नियम को उलटकर दो फलनों के गुणनफल के कठिन समाकलन को सरल समाकलन में बदलने का सूत्र।
क्या मैं खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र — LIATE नियम और निश्चित समाकल के परिणाम डाउनलोड या प्रिंट कर सकता हूँ?+
हाँ, आप तुरंत उच्च-रिज़ॉल्यूशन SVG, PNG, CSV डाउनलोड कर सकते हैं या वर्कशीट प्रिंट कर सकते हैं।
क्या मैं खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र — LIATE नियम और निश्चित समाकल में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।