04 // Интерактивный справочник формул // СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ МАТАНАЛИЗА, РЯДОВ И АЛГЕБРЫ∫ u dv = u · v − ∫ v du

Формула интегрирования по частям — правило выбора u и dv

Преобразует интеграл от произведения двух функций в более простой интеграл на основе обращённого правила дифференцирования произведения.

Справочная карточка формулы

Основная формула

∫ u dv = u · v − ∫ v du

Выраженные формы

∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx

d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)

∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Integration by Parts Formula — LIATE Rule & Definite Integral Form
Symbol	Name	Unit
I	Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts	dimensionless
x	Upper Integration Limit (x)	1
k	Exponential Rate Constant (k ≠ 0)	1

Исходные данные и параметры

xUpper Integration Limit (x)[1]

kExponential Rate Constant (k ≠ 0)[1]

Результат расчёта (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)

I =8.389056dimensionless

Пояснения и вывод формулы

Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.

Примеры с подробным решением

#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.

u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2

[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1

→ e² + 1 ≈ 8.38906

#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.

u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x

∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx

→ x ln(x) − x + C

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула интегрирования по частям — правило выбора u и dv»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула интегрирования по частям — правило выбора u и dv по формуле ∫ u dv = u · v − ∫ v du прямо в браузере. Преобразует интеграл от произведения двух функций в более простой интеграл на основе обращённого правила дифференцирования произведения.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула интегрирования по частям — правило выбора u и dv»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула интегрирования по частям — правило выбора u и dv» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.