04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查∫ u dv = u · v − ∫ v du

分部积分法公式 — 选函数口诀与定积分形式速查

通过逆用乘积求导法则，将两个函数乘积的复杂积分转化为更容易求解的积分形式。

公式速查卡

核心公式

∫ u dv = u · v − ∫ v du

变形公式

∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx

d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)

∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C

变量说明与单位

变量说明与单位 — Integration by Parts Formula — LIATE Rule & Definite Integral Form
Symbol	Name	Unit
I	Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts	dimensionless
x	Upper Integration Limit (x)	1
k	Exponential Rate Constant (k ≠ 0)	1

输入数值与参数

xUpper Integration Limit (x)[1]

kExponential Rate Constant (k ≠ 0)[1]

计算结果 (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)

I =8.389056dimensionless

公式说明与推导背景

Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.

#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.

u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2

[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1

→ e² + 1 ≈ 8.38906

#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.

u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x

∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx

→ x ln(x) − x + C

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