04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집∫ u dv = u · v − ∫ v du
부분적분 공식 — 곱의 미분법 역연산 및 정적분 적용 정리
곱의 미분 공식을 거꾸로 활용해 두 함수가 곱해진 복잡한 적분을 더 계산하기 쉬운 적분으로 바꾸는 핵심 기법입니다.
공식 요약
기본 공식
∫ u dv = u · v − ∫ v du
변형 공식
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
입력값 및 설정
[1]
[1]
계산 결과 (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
공식 설명 및 배경
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
단계별 풀이 예제
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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