04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンス∫ u dv = u · v − ∫ v du
部分積分の公式 — 積の微分からの導出と定積分への応用
積の微分法則を逆向きに利用し、2つの関数の積の積分をより計算しやすい積分へと変換するテクニックと具体例をまとめています。
公式リファレンス
基本公式
∫ u dv = u · v − ∫ v du
変形した式
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
計算結果 (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
公式の解説・背景
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
具体的な計算例
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
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よくある質問（FAQ）
部分積分の公式 — 積の微分からの導出と定積分への応用の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、部分積分の公式 — 積の微分からの導出と定積分への応用（数式: ∫ u dv = u · v − ∫ v du）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。積の微分法則を逆向きに利用し、2つの関数の積の積分をより計算しやすい積分へと変換するテクニックと具体例をまとめています。
部分積分の公式 — 積の微分からの導出と定積分への応用の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
部分積分の公式 — 積の微分からの導出と定積分への応用のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。