04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンスd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
合成関数の微分（連鎖律）・積の微分・商の微分 — 公式シート
べき乗関数、関数の積と商、そして入れ子になった合成関数を正確に微分するための基本計算ルールを一覧で解説します。
公式リファレンス
基本公式
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
変形した式
d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)
d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| h'(x) | Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ] | dimensionless |
| a | Inner Slope (a = g'(x)) | 1 |
| b | Inner Intercept (b) | 1 |
| x | Evaluation Point (x) | 1 |
| n | Outer Power Exponent (n) | 1 |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[1]
[1]
計算結果 (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])
h'(x) =4,116dimensionless
公式の解説・背景
- For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
- The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
- Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).
具体的な計算例
#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).
Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2
h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343
→ h'(2) = 4,116
#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.
u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1
y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4
→ y'(1) = 0.75
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よくある質問（FAQ）
合成関数の微分（連鎖律）・積の微分・商の微分 — 公式シートの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、合成関数の微分（連鎖律）・積の微分・商の微分 — 公式シート（数式: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。べき乗関数、関数の積と商、そして入れ子になった合成関数を正確に微分するための基本計算ルールを一覧で解説します。
合成関数の微分（連鎖律）・積の微分・商の微分 — 公式シートの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
合成関数の微分（連鎖律）・積の微分・商の微分 — 公式シートのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。