04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبریd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
قاعده زنجیره‌ای، مشتق ضرب و مشتق تقسیم — برگه مرجع مشتق‌گیری
قواعد بنیادی مشتق‌گیری برای توابع مرکب، حاصل‌ضرب، خارج‌قسمت و توابع توانی در حساب تک‌متغیره و چندمتغیره.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
فرم‌های بازآرایی‌شده
d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)
d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| h'(x) | Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ] | dimensionless |
| a | Inner Slope (a = g'(x)) | 1 |
| b | Inner Intercept (b) | 1 |
| x | Evaluation Point (x) | 1 |
| n | Outer Power Exponent (n) | 1 |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[1]
[1]
[1]
نتیجه محاسبه (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])
h'(x) =4,116dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
- The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
- Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).
Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2
h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343
→ h'(2) = 4,116
#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.
u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1
y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4
→ y'(1) = 0.75
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین قاعده زنجیره‌ای، مشتق ضرب و مشتق تقسیم — برگه مرجع مشتق‌گیری چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا قاعده زنجیره‌ای، مشتق ضرب و مشتق تقسیم — برگه مرجع مشتق‌گیری بر اساس رابطه d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. قواعد بنیادی مشتق‌گیری برای توابع مرکب، حاصل‌ضرب، خارج‌قسمت و توابع توانی در حساب تک‌متغیره و چندمتغیره.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای قاعده زنجیره‌ای، مشتق ضرب و مشتق تقسیم — برگه مرجع مشتق‌گیری را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در قاعده زنجیره‌ای، مشتق ضرب و مشتق تقسیم — برگه مرجع مشتق‌گیری پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.