04 // Интерактивный справочник формул // СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ МАТАНАЛИЗА, РЯДОВ И АЛГЕБРЫd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

Правила дифференцирования сложной функции, произведения и частного

Базовые правила нахождения производных сложных функций, произведений, дробей и степенных выражений в математическом анализе.

Справочная карточка формулы

Основная формула

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

Выраженные формы

d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)

d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)

d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Chain Rule, Product Rule & Quotient Rule — Differentiation Sheet
Symbol	Name	Unit
h'(x)	Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ]	dimensionless
a	Inner Slope (a = g'(x))	1
b	Inner Intercept (b)	1
x	Evaluation Point (x)	1
n	Outer Power Exponent (n)	1

Исходные данные и параметры

aInner Slope (a = g'(x))[1]

bInner Intercept (b)[1]

xEvaluation Point (x)[1]

nOuter Power Exponent (n)[1]

Результат расчёта (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])

h'(x) =4,116dimensionless

Пояснения и вывод формулы

For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).

Примеры с подробным решением

#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).

Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2

h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343

→ h'(2) = 4,116

#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.

u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1

y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4

→ y'(1) = 0.75

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Правила дифференцирования сложной функции, произведения и частного»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Правила дифференцирования сложной функции, произведения и частного по формуле d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x) прямо в браузере. Базовые правила нахождения производных сложных функций, произведений, дробей и степенных выражений в математическом анализе.

Можно ли скачать график или расчёт из «Правила дифференцирования сложной функции, произведения и частного»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Правила дифференцирования сложной функции, произведения и частного» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.