04 // Интерактивный справочник формул // СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ МАТАНАЛИЗА, РЯДОВ И АЛГЕБРЫf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ

Формула ряда Тейлора и Маклорена — многочленное приближение функций

Представление гладкой дифференцируемой функции f(x) в окрестности точки x = a в виде бесконечного степенного ряда через её производные.

Справочная карточка формулы

Основная формула

f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ

Выраженные формы

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …

R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Taylor & Maclaurin Series Expansion Formula — Polynomial Approximation
Symbol	Name	Unit
P_n(x)	n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ	dimensionless
x	Evaluation Input (x)	1
n	Polynomial Degree (n terms)	integer

Исходные данные и параметры

xEvaluation Input (x)[1]

nPolynomial Degree (n terms)[integer]

Результат расчёта (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)

P_n(x) =2.716667dimensionless

Пояснения и вывод формулы

Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.

Примеры с подробным решением

#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).

x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k

P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120

→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)

#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.

x = 0.5 radn = 3

P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6

→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула ряда Тейлора и Маклорена — многочленное приближение функций»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула ряда Тейлора и Маклорена — многочленное приближение функций по формуле f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ прямо в браузере. Представление гладкой дифференцируемой функции f(x) в окрестности точки x = a в виде бесконечного степенного ряда через её производные.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула ряда Тейлора и Маклорена — многочленное приближение функций»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула ряда Тейлора и Маклорена — многочленное приближение функций» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.