04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিটf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
টেইলর ও ম্যাকলরিন ধারা সূত্র — বহুপদী আসন্নীকরণ
যেকোনো মসৃণ অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন f(x)-কে বিন্দু x = a-এর আশেপাশে তার ক্রমিক অন্তরজগুলোর অসীম ঘাত ধারা হিসেবে প্রকাশ করে।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
রূপান্তরিত সূত্র
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[integer]
গণনার ফলাফল (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
টেইলর ও ম্যাকলরিন ধারা সূত্র — বহুপদী আসন্নীকরণ অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে টেইলর ও ম্যাকলরিন ধারা সূত্র — বহুপদী আসন্নীকরণ (f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। যেকোনো মসৃণ অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন f(x)-কে বিন্দু x = a-এর আশেপাশে তার ক্রমিক অন্তরজগুলোর অসীম ঘাত ধারা হিসেবে প্রকাশ করে।
আমি কি টেইলর ও ম্যাকলরিন ধারা সূত্র — বহুপদী আসন্নীকরণ থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি টেইলর ও ম্যাকলরিন ধারা সূত্র — বহুপদী আসন্নীকরণ-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।