04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিটe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
অয়লারের সূত্র ও অভেদ — জটিল সূচকীয় রেফারেন্স শিট
জটিল সমতলের একক বৃত্তে জটিল সূচকীয় ফাংশনের সাথে ত্রিকোণমিতিক সাইন ও কোসাইন তরঙ্গের সম্পর্ক স্থাপন করে।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
রূপান্তরিত সূত্র
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[rad]
গণনার ফলাফল (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
অয়লারের সূত্র ও অভেদ — জটিল সূচকীয় রেফারেন্স শিট অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে অয়লারের সূত্র ও অভেদ — জটিল সূচকীয় রেফারেন্স শিট (e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। জটিল সমতলের একক বৃত্তে জটিল সূচকীয় ফাংশনের সাথে ত্রিকোণমিতিক সাইন ও কোসাইন তরঙ্গের সম্পর্ক স্থাপন করে।
আমি কি অয়লারের সূত্র ও অভেদ — জটিল সূচকীয় রেফারেন্স শিট থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি অয়লারের সূত্র ও অভেদ — জটিল সূচকীয় রেফারেন্স শিট-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।