04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्रe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
यूलर का सूत्र और यूलर सर्वसमिका — सम्मिश्र घातीय संदर्भ शीट
सम्मिश्र तल के इकाई वृत्त पर सम्मिश्र घातीय फलनों को त्रिकोणमितीय साइन और कोसाइन तरंगों से जोड़ने वाला प्रसिद्ध सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
अन्य रूप
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
इनपुट और मान
[1]
[rad]
गणना का परिणाम (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
हल किए गए उदाहरण
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
क्या यह टूल आपके लिए उपयोगी रहा?
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
यूलर का सूत्र और यूलर सर्वसमिका — सम्मिश्र घातीय संदर्भ शीट ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत यूलर का सूत्र और यूलर सर्वसमिका — सम्मिश्र घातीय संदर्भ शीट (सूत्र: e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। सम्मिश्र तल के इकाई वृत्त पर सम्मिश्र घातीय फलनों को त्रिकोणमितीय साइन और कोसाइन तरंगों से जोड़ने वाला प्रसिद्ध सूत्र।
क्या मैं यूलर का सूत्र और यूलर सर्वसमिका — सम्मिश्र घातीय संदर्भ शीट के परिणाम डाउनलोड या प्रिंट कर सकता हूँ?+
हाँ, आप तुरंत उच्च-रिज़ॉल्यूशन SVG, PNG, CSV डाउनलोड कर सकते हैं या वर्कशीट प्रिंट कर सकते हैं।
क्या मैं यूलर का सूत्र और यूलर सर्वसमिका — सम्मिश्र घातीय संदर्भ शीट में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।