04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // यूक्लिडीय, निर्देशांक, शांकव और त्रिकोणमितीय नियमsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
त्रिकोणमितीय द्वि-कोण, अर्ध-कोण और योग-अंतर सर्वसमिका शीट
कोण-योग, द्वि-कोण (Double-Angle), अर्ध-कोण और घात-न्यूनीकरण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का संपूर्ण संदर्भ।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
अन्य रूप
cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1 = 1 − 2 sin²(θ)
sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 (Power-Reduction)
tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 − tan²(θ))
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| sin(2θ) | Double-Angle Sine Value sin(2θ) | dimensionless |
| theta_deg | Base Angle θ (degrees) | deg |
इनपुट और मान
[deg]
गणना का परिणाम (Double-Angle Sine Value sin(2θ))
sin(2θ) =0.866025dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- From Euler's formula, e^(i(α+β)) = e^(iα)e^(iβ) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).
- Matching real and imaginary parts gives cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β and sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β.
- Setting α = β = θ immediately produces sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) and cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ).
हल किए गए उदाहरण
#1: Find the exact values of sin(60°) and cos(60°) from θ = 30°.
θ = 30°sin(30°) = 0.5cos(30°) = √3/2
sin(60°) = 2(0.5)(√3/2) = √3/2; cos(60°) = (3/4) − (1/4) = 1/2
→ sin(60°) ≈ 0.86603, cos(60°) = 0.50000
#2: Find the exact value of sin(15°) using the half-angle formula with 2θ = 30°.
θ = 15°cos(30°) = √3/2
sin(15°) = √[(1 − cos 30°) / 2] = √[(2 − √3) / 4] = (√6 − √2) / 4
→ sin(15°) ≈ 0.25882
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
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क्या मैं त्रिकोणमितीय द्वि-कोण, अर्ध-कोण और योग-अंतर सर्वसमिका शीट में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।