04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // قوانین هندسه اقلیدسی، تحلیلی، مقاطع مخروطی و مثلثاتsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
اتحادهای مثلثاتی دو برابر زاویه، نصف زاویه و مجموع زوایا
مرجع کامل روابط مثلثاتی شامل مجموع و تفاضل دو زاویه، دو برابر زاویه، نصف زاویه و کاهش توان.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
فرم‌های بازآرایی‌شده
cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1 = 1 − 2 sin²(θ)
sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 (Power-Reduction)
tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 − tan²(θ))
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| sin(2θ) | Double-Angle Sine Value sin(2θ) | dimensionless |
| theta_deg | Base Angle θ (degrees) | deg |
ورودی‌ها و پارامترها
[deg]
نتیجه محاسبه (Double-Angle Sine Value sin(2θ))
sin(2θ) =0.866025dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- From Euler's formula, e^(i(α+β)) = e^(iα)e^(iβ) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).
- Matching real and imaginary parts gives cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β and sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β.
- Setting α = β = θ immediately produces sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) and cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Find the exact values of sin(60°) and cos(60°) from θ = 30°.
θ = 30°sin(30°) = 0.5cos(30°) = √3/2
sin(60°) = 2(0.5)(√3/2) = √3/2; cos(60°) = (3/4) − (1/4) = 1/2
→ sin(60°) ≈ 0.86603, cos(60°) = 0.50000
#2: Find the exact value of sin(15°) using the half-angle formula with 2θ = 30°.
θ = 15°cos(30°) = √3/2
sin(15°) = √[(1 − cos 30°) / 2] = √[(2 − √3) / 4] = (√6 − √2) / 4
→ sin(15°) ≈ 0.25882
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین اتحادهای مثلثاتی دو برابر زاویه، نصف زاویه و مجموع زوایا چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا اتحادهای مثلثاتی دو برابر زاویه، نصف زاویه و مجموع زوایا بر اساس رابطه sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. مرجع کامل روابط مثلثاتی شامل مجموع و تفاضل دو زاویه، دو برابر زاویه، نصف زاویه و کاهش توان.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای اتحادهای مثلثاتی دو برابر زاویه، نصف زاویه و مجموع زوایا را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در اتحادهای مثلثاتی دو برابر زاویه، نصف زاویه و مجموع زوایا پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.