04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)

Тригонометрические формулы двойного угла, половинного угла и сложения

Наглядный справочник тригонометрических тождеств суммы и разности углов, двойного и половинного аргумента, а также формул понижения степени.

Справочная карточка формулы

Основная формула

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)

Выраженные формы

cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1 = 1 − 2 sin²(θ)

sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 (Power-Reduction)

tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 − tan²(θ))

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Trigonometric Double-Angle, Half-Angle & Angle-Sum Identities Sheet
Symbol	Name	Unit
sin(2θ)	Double-Angle Sine Value sin(2θ)	dimensionless
theta_deg	Base Angle θ (degrees)	deg

Исходные данные и параметры

theta_degBase Angle θ (degrees)[deg]

Результат расчёта (Double-Angle Sine Value sin(2θ))

sin(2θ) =0.866025dimensionless

Пояснения и вывод формулы

From Euler's formula, e^(i(α+β)) = e^(iα)e^(iβ) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).
Matching real and imaginary parts gives cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β and sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β.
Setting α = β = θ immediately produces sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) and cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ).

Примеры с подробным решением

#1: Find the exact values of sin(60°) and cos(60°) from θ = 30°.

θ = 30°sin(30°) = 0.5cos(30°) = √3/2

sin(60°) = 2(0.5)(√3/2) = √3/2; cos(60°) = (3/4) − (1/4) = 1/2

→ sin(60°) ≈ 0.86603, cos(60°) = 0.50000

#2: Find the exact value of sin(15°) using the half-angle formula with 2θ = 30°.

θ = 15°cos(30°) = √3/2

sin(15°) = √[(1 − cos 30°) / 2] = √[(2 − √3) / 4] = (√6 − √2) / 4

→ sin(15°) ≈ 0.25882

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Тригонометрические формулы двойного угла, половинного угла и сложения»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Тригонометрические формулы двойного угла, половинного угла и сложения по формуле sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ) прямо в браузере. Наглядный справочник тригонометрических тождеств суммы и разности углов, двойного и половинного аргумента, а также формул понижения степени.

Можно ли скачать график или расчёт из «Тригонометрические формулы двойного угла, половинного угла и сложения»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Тригонометрические формулы двойного угла, половинного угла и сложения» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.