04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИc² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Теорема косинусов — расчёт произвольного треугольника по сторонам и углу
Обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник с учётом поправочного слагаемого −2ab cos(C).
Справочная карточка формулы
Основная формула
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Выраженные формы
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) (Angle Form for SSS)
a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
Переменные и единицы
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| c | Opposite Side Length (c) | m |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| C_deg | Included Angle C (degrees) | deg |
Исходные данные и параметры
[m]
[m]
[deg]
Результат расчёта (Opposite Side Length (c))
c =6.666345m
Пояснения и вывод формулы
- Drop an altitude h from vertex B onto side a (or its extension), dividing side a into segments b cos(C) and a − b cos(C) with height h = b sin(C).
- Apply the Pythagorean theorem to the right triangle containing hypotenuse c: c² = (b sin C)² + (a − b cos C)².
- Expand and apply sin²C + cos²C = 1 to obtain c² = a² + b² − 2ab cos(C).
Примеры с подробным решением
#1: Find side c of a triangle with sides a = 8 m, b = 11 m, and included angle C = 37°.
a = 8 mb = 11 mC = 37° (cos 37° ≈ 0.79864)
c = √(8² + 11² − 2(8)(11)cos(37°)) = √(64 + 121 − 140.56)
→ c = √44.44 ≈ 6.666 m
#2: Find the largest angle C in a triangle with sides a = 5, b = 6, c = 9.
a = 5b = 6c = 9
cos(C) = (5² + 6² − 9²) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 81) / 60 = −20 / 60
→ C = arccos(−1/3) ≈ 109.47° (obtuse triangle)
Был ли этот инструмент полезен?
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Как пользоваться онлайн-инструментом «Теорема косинусов — расчёт произвольного треугольника по сторонам и углу»?+
Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Теорема косинусов — расчёт произвольного треугольника по сторонам и углу по формуле c² = a² + b² − 2ab · cos(C) прямо в браузере. Обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник с учётом поправочного слагаемого −2ab cos(C).
Можно ли скачать график или расчёт из «Теорема косинусов — расчёт произвольного треугольника по сторонам и углу»?+
Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.
Можно ли очистить демонстрационные данные в «Теорема косинусов — расчёт произвольного треугольника по сторонам и углу» и начать с нуля?+
Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.