04 // Compendium Interactif de Formules // LOIS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE, ANALYTIQUE, CONIQUES ET TRIGONOMÉTRIEc² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Formule de la loi des cosinus (Al-Kashi) — Triangles quelconques
Généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles non rectangles grâce au terme correctif −2ab cos(C).
Fiche formule
Formule principale
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Formes équivalentes
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) (Angle Form for SSS)
a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
Variables et unités
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| c | Opposite Side Length (c) | m |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| C_deg | Included Angle C (degrees) | deg |
Valeurs et paramètres
[m]
[m]
[deg]
Résultat calculé (Opposite Side Length (c))
c =6.666345m
Explications et origine de la formule
- Drop an altitude h from vertex B onto side a (or its extension), dividing side a into segments b cos(C) and a − b cos(C) with height h = b sin(C).
- Apply the Pythagorean theorem to the right triangle containing hypotenuse c: c² = (b sin C)² + (a − b cos C)².
- Expand and apply sin²C + cos²C = 1 to obtain c² = a² + b² − 2ab cos(C).
Exemples détaillés
#1: Find side c of a triangle with sides a = 8 m, b = 11 m, and included angle C = 37°.
a = 8 mb = 11 mC = 37° (cos 37° ≈ 0.79864)
c = √(8² + 11² − 2(8)(11)cos(37°)) = √(64 + 121 − 140.56)
→ c = √44.44 ≈ 6.666 m
#2: Find the largest angle C in a triangle with sides a = 5, b = 6, c = 9.
a = 5b = 6c = 9
cos(C) = (5² + 6² − 9²) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 81) / 60 = −20 / 60
→ C = arccos(−1/3) ≈ 109.47° (obtuse triangle)
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Questions Fréquemment Posées
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