04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
余弦定理公式 — 斜三角形两边夹角与三边求角速查
引入 −2ab cos(C) 投影修正项，将直角三角形勾股定理推广到任意锐角或钝角三角形。
公式速查卡
核心公式
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
变形公式
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) (Angle Form for SSS)
a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| c | Opposite Side Length (c) | m |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| C_deg | Included Angle C (degrees) | deg |
输入数值与参数
[m]
[m]
[deg]
计算结果 (Opposite Side Length (c))
c =6.666345m
公式说明与推导背景
- Drop an altitude h from vertex B onto side a (or its extension), dividing side a into segments b cos(C) and a − b cos(C) with height h = b sin(C).
- Apply the Pythagorean theorem to the right triangle containing hypotenuse c: c² = (b sin C)² + (a − b cos C)².
- Expand and apply sin²C + cos²C = 1 to obtain c² = a² + b² − 2ab cos(C).
分步计算实例
#1: Find side c of a triangle with sides a = 8 m, b = 11 m, and included angle C = 37°.
a = 8 mb = 11 mC = 37° (cos 37° ≈ 0.79864)
c = √(8² + 11² − 2(8)(11)cos(37°)) = √(64 + 121 − 140.56)
→ c = √44.44 ≈ 6.666 m
#2: Find the largest angle C in a triangle with sides a = 5, b = 6, c = 9.
a = 5b = 6c = 9
cos(C) = (5² + 6² − 9²) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 81) / 60 = −20 / 60
→ C = arccos(−1/3) ≈ 109.47° (obtuse triangle)
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常见问题解答 (FAQ)
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