04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 平面・立体幾何・円錐曲線・三角法の公式集c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
余弦定理の公式 — 2辺夾角・3辺から三角形を解くリファレンス
直角三角形の三平方の定理に −2ab cos(C) の補正項を加え、あらゆる一般の三角形の辺と角に拡張した幾何学の基本定理です。
公式リファレンス
基本公式
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
変形した式
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) (Angle Form for SSS)
a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| c | Opposite Side Length (c) | m |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| C_deg | Included Angle C (degrees) | deg |
入力値・パラメータ
[m]
[m]
[deg]
計算結果 (Opposite Side Length (c))
c =6.666345m
公式の解説・背景
- Drop an altitude h from vertex B onto side a (or its extension), dividing side a into segments b cos(C) and a − b cos(C) with height h = b sin(C).
- Apply the Pythagorean theorem to the right triangle containing hypotenuse c: c² = (b sin C)² + (a − b cos C)².
- Expand and apply sin²C + cos²C = 1 to obtain c² = a² + b² − 2ab cos(C).
具体的な計算例
#1: Find side c of a triangle with sides a = 8 m, b = 11 m, and included angle C = 37°.
a = 8 mb = 11 mC = 37° (cos 37° ≈ 0.79864)
c = √(8² + 11² − 2(8)(11)cos(37°)) = √(64 + 121 − 140.56)
→ c = √44.44 ≈ 6.666 m
#2: Find the largest angle C in a triangle with sides a = 5, b = 6, c = 9.
a = 5b = 6c = 9
cos(C) = (5² + 6² − 9²) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 81) / 60 = −20 / 60
→ C = arccos(−1/3) ≈ 109.47° (obtuse triangle)
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よくある質問（FAQ）
余弦定理の公式 — 2辺夾角・3辺から三角形を解くリファレンスの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、余弦定理の公式 — 2辺夾角・3辺から三角形を解くリファレンス（数式: c² = a² + b² − 2ab · cos(C)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。直角三角形の三平方の定理に −2ab cos(C) の補正項を加え、あらゆる一般の三角形の辺と角に拡張した幾何学の基本定理です。
余弦定理の公式 — 2辺夾角・3辺から三角形を解くリファレンスの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
余弦定理の公式 — 2辺夾角・3辺から三角形を解くリファレンスのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。