04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律c = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)
平面与三维空间勾股定理 — 斜边与长方体空间对角线
揭示直角三角形两直角边与斜边的平方关系，以及三维长方体长宽高与体对角线长度的几何定律。
公式速查卡
核心公式
c = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)
变形公式
a = √(c² − b²) (Leg Recovery)
sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (Trigonometric Pythagorean Identity)
(m² − n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² (Euclid's Pythagorean Triple Generator)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| d | Diagonal Length √(a² + b² + h²) | m |
| a | Length / Leg a | m |
| b | Width / Leg b | m |
| h | Height h (set 0 for 2D right triangle) | m |
输入数值与参数
[m]
[m]
[m]
计算结果 (Diagonal Length √(a² + b² + h²))
d =13m
公式说明与推导背景
- Arrange four congruent right triangles of legs a, b and hypotenuse c inside a square of side (a + b).
- The total area (a + b)² = a² + 2ab + b² equals the central tilted square c² plus four triangles 4(½ab) = 2ab, leaving a² + b² = c².
- In 3D, the floor diagonal is f = √(a² + b²), which forms a right triangle with vertical height h so d = √(f² + h²) = √(a² + b² + h²).
分步计算实例
#1: Find the 3D space diagonal of a room measuring 3 m × 4 m × 12 m.
a = 3 mb = 4 mh = 12 m
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169
→ d = 13 m (exact integer Pythagorean quadruple)
#2: Generate a primitive Pythagorean triple using Euclid's formula with m = 4, n = 1.
m = 4n = 1
a = 4² − 1² = 15, b = 2(4)(1) = 8, c = 4² + 1² = 17
→ (8, 15, 17) since 64 + 225 = 289 = 17²
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