04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИA = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2

Формула Герона для площади треугольника через полупериметр

Вычисляет точную площадь, высоты, а также радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника только по длинам трёх его сторон a, b и c.

Справочная карточка формулы

Основная формула

A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2

Выраженные формы

r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)

R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)

h_a = 2A / a (Altitude to Side a)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Heron's Formula for Triangle Area — SSS Semi-Perimeter Sheet
Symbol	Name	Unit
A	Triangle Surface Area (A)	m²
a	Side Length a	m
b	Side Length b	m
c	Side Length c	m

Исходные данные и параметры

aSide Length a[m]

bSide Length b[m]

cSide Length c[m]

Результат расчёта (Triangle Surface Area (A))

A =84m²

Пояснения и вывод формулы

Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].

Примеры с подробным решением

#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.

a = 13 mb = 14 mc = 15 m

s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056

→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)

#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.

a = 3 mb = 4 mc = 5 m

s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36

→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула Герона для площади треугольника через полупериметр»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула Герона для площади треугольника через полупериметр по формуле A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2 прямо в браузере. Вычисляет точную площадь, высоты, а также радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника только по длинам трёх его сторон a, b и c.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула Герона для площади треугольника через полупериметр»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула Герона для площади треугольника через полупериметр» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.