04 // Интерактивный справочник формул // СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ МАТАНАЛИЗА, РЯДОВ И АЛГЕБРЫe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Формула Эйлера и тождество Эйлера — комплексная экспонента

Объединяет показательную функцию комплексного аргумента с тригонометрическими функциями синуса и косинуса на единичной окружности.

Справочная карточка формулы

Основная формула

e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Выраженные формы

z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)

cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Euler's Formula & Euler's Identity — Complex Exponential Reference Sheet
Symbol	Name	Unit
Re(z)	Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ)	dimensionless
r	Complex Modulus / Magnitude (r)	1
theta	Phase Angle θ (radians)	rad

Исходные данные и параметры

rComplex Modulus / Magnitude (r)[1]

thetaPhase Angle θ (radians)[rad]

Результат расчёта (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))

Re(z) =-1dimensionless

Пояснения и вывод формулы

Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).

Примеры с подробным решением

#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.

r = 1θ = π rad

e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1

→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.

r = 10θ = π/3 rad (60°)

z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)

→ z = 5 + 8.66025i

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула Эйлера и тождество Эйлера — комплексная экспонента»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула Эйлера и тождество Эйлера — комплексная экспонента по формуле e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 прямо в браузере. Объединяет показательную функцию комплексного аргумента с тригонометрическими функциями синуса и косинуса на единичной окружности.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула Эйлера и тождество Эйлера — комплексная экспонента»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула Эйлера и тождество Эйлера — комплексная экспонента» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.