04 // Compendium Interactif de Formules // FORMULES D'ANALYSE, SÉRIES ET IDENTITÉS ALGÉBRIQUESe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Formule d'Euler et identité d'Euler — Exponentielle complexe

Unifie la fonction exponentielle complexe et les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sur le cercle unité du plan complexe.

Fiche formule

Formule principale

e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Formes équivalentes

z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)

cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)

Variables et unités

Variables et unités — Euler's Formula & Euler's Identity — Complex Exponential Reference Sheet
Symbol	Name	Unit
Re(z)	Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ)	dimensionless
r	Complex Modulus / Magnitude (r)	1
theta	Phase Angle θ (radians)	rad

Valeurs et paramètres

rComplex Modulus / Magnitude (r)[1]

thetaPhase Angle θ (radians)[rad]

Résultat calculé (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))

Re(z) =-1dimensionless

Explications et origine de la formule

Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).

Exemples détaillés

#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.

r = 1θ = π rad

e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1

→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.

r = 10θ = π/3 rad (60°)

z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)

→ z = 5 + 8.66025i

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Questions Fréquemment Posées

Comment utiliser l'outil Formule d'Euler et identité d'Euler — Exponentielle complexe en ligne ?+

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