04 // Kompendium Rumus Interaktif // KUMPULAN RUMUS KALKULUS, DERET & IDENTITAS ALJABARe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
Rumus Euler & Identitas Euler — Eksponensial Kompleks
Menghubungkan fungsi pangkat eksponensial kompleks dengan gelombang sinus dan cosinus trigonometri pada lingkaran satuan di bidang kompleks.
Ringkasan Rumus
Rumus Utama
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
Bentuk Turunan
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
Variabel & Satuan
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
Input & Parameter
[1]
[rad]
Hasil Perhitungan (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
Catatan & Penjelasan Rumus
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
Contoh Soal & Pembahasan
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
Apakah alat ini membantu Anda?
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Bagaimana cara menggunakan alat Rumus Euler & Identitas Euler — Eksponensial Kompleks ini?+
Masukkan nilai parameter atau geser kontrol untuk menghitung dan memvisualisasikan Rumus Euler & Identitas Euler — Eksponensial Kompleks dengan rumus e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 secara instan di browser Anda. Menghubungkan fungsi pangkat eksponensial kompleks dengan gelombang sinus dan cosinus trigonometri pada lingkaran satuan di bidang kompleks.
Apakah hasil dari Rumus Euler & Identitas Euler — Eksponensial Kompleks bisa diunduh atau dicetak?+
Ya! Alat ini mendukung ekspor grafik SVG/PNG resolusi tinggi, salin data CSV, serta cetak lembar kerja lengkap.
Bisakah saya menghapus data contoh di Rumus Euler & Identitas Euler — Eksponensial Kompleks dan mulai dari kosong?+
Ya. Klik tombol kosongkan di bagian atas alat untuk memulai dengan kanvas bersih, atau muat ulang data contoh kapan saja.