04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹسe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
آئلر کا کلیہ اور آئلر کی مساوات — مختلط قوت نما حوالہ شیٹ
مختلط مستوی (کمپلیکس پلین) کے اکائی دائرے پر مختلط قوت نما تفاعل کو سائن اور کوسائن لہروں سے جوڑنے والا بنیادی تعلق۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
متبادل شکلیں
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[rad]
حساب کا نتیجہ (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
حل شدہ مثالیں
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
آئلر کا کلیہ اور آئلر کی مساوات — مختلط قوت نما حوالہ شیٹ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر آئلر کا کلیہ اور آئلر کی مساوات — مختلط قوت نما حوالہ شیٹ (مساوات: e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ مختلط مستوی (کمپلیکس پلین) کے اکائی دائرے پر مختلط قوت نما تفاعل کو سائن اور کوسائن لہروں سے جوڑنے والا بنیادی تعلق۔
کیا میں آئلر کا کلیہ اور آئلر کی مساوات — مختلط قوت نما حوالہ شیٹ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں آئلر کا کلیہ اور آئلر کی مساوات — مختلط قوت نما حوالہ شیٹ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔