04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
欧拉公式与欧拉恒等式 — 复指数与三角函数关系速查
在复平面单位圆上将复指数函数与正弦、余弦波形巧妙统一起来的经典数学公式。
公式速查卡
核心公式
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
变形公式
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
输入数值与参数
[1]
[rad]
计算结果 (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
公式说明与推导背景
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
分步计算实例
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
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常见问题解答 (FAQ)
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