04 // Cẩm Nang Công Thức Tương Tác // BẢNG CÔNG THỨC GIẢI TÍCH, CHUỖI SỐ & HẰNG ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
Công Thức Euler & Đồng Nhất Thức Euler — Số Mũ Phức & Lượng Giác
Kết nối hàm mũ số phức với sóng lượng giác sin và cosin trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức.
Bảng công thức
Công thức chính
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
Các dạng suy ra
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
Biến số & Đơn vị
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
Dữ liệu đầu vào & Tham số
[1]
[rad]
Kết quả tính toán (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
Ghi chú & Giải thích công thức
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
Ví dụ minh họa có lời giải
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
Công cụ này có hữu ích với bạn không?
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Làm thế nào để sử dụng công cụ Công Thức Euler & Đồng Nhất Thức Euler — Số Mũ Phức & Lượng Giác?+
Nhập các thông số hoặc kéo thanh trượt để tính toán và mô phỏng Công Thức Euler & Đồng Nhất Thức Euler — Số Mũ Phức & Lượng Giác theo công thức e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 ngay lập tức trên trình duyệt. Kết nối hàm mũ số phức với sóng lượng giác sin và cosin trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức.
Tôi có thể tải xuống biểu đồ hoặc kết quả từ Công Thức Euler & Đồng Nhất Thức Euler — Số Mũ Phức & Lượng Giác không?+
Có! Công cụ hỗ trợ tải file SVG, PNG sắc nét, sao chép CSV hoặc in phiếu bài tập ngay lập tức.
Tôi có thể xóa dữ liệu mẫu trong Công Thức Euler & Đồng Nhất Thức Euler — Số Mũ Phức & Lượng Giác để nhập mới từ đầu không?+
Có. Nhấn nút xóa trống ở đầu công cụ để bắt đầu với bảng trống hoàn toàn, hoặc tải lại dữ liệu mẫu bất cứ lúc nào.