04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // FÓRMULAS DE CÁLCULO, SÉRIES E IDENTIDADES ALGÉBRICASe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Fórmula e Identidade de Euler — Exponencial Complexa no Círculo Unitário

Une funções exponenciais complexas às ondas trigonométricas de seno e cosseno sobre o círculo unitário do plano complexo.

Referência da fórmula

Fórmula principal

e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

Formas isoladas

z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)

cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Euler's Formula & Euler's Identity — Complex Exponential Reference Sheet
Symbol	Name	Unit
Re(z)	Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ)	dimensionless
r	Complex Modulus / Magnitude (r)	1
theta	Phase Angle θ (radians)	rad

Entradas e parâmetros

rComplex Modulus / Magnitude (r)[1]

thetaPhase Angle θ (radians)[rad]

Resultado calculado (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))

Re(z) =-1dimensionless

Notas e explicação da fórmula

Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).

Exemplos resolvidos

#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.

r = 1θ = π rad

e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1

→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0

#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.

r = 10θ = π/3 rad (60°)

z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)

→ z = 5 + 8.66025i

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Perguntas Frequentes (FAQ)

Como funciona a ferramenta Fórmula e Identidade de Euler — Exponencial Complexa no Círculo Unitário?+

Insira os valores ou ajuste os controles para calcular e visualizar Fórmula e Identidade de Euler — Exponencial Complexa no Círculo Unitário usando a equação e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 em tempo real no navegador. Une funções exponenciais complexas às ondas trigonométricas de seno e cosseno sobre o círculo unitário do plano complexo.

Posso baixar ou imprimir os resultados de Fórmula e Identidade de Euler — Exponencial Complexa no Círculo Unitário?+

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Sim. Clique no botão de limpar no topo de Fórmula e Identidade de Euler — Exponencial Complexa no Círculo Unitário para iniciar em branco com seus próprios números, ou recarregue os dados de exemplo a qualquer momento.