04 // Kompendium Rumus Interaktif // KUMPULAN RUMUS KALKULUS, DERET & IDENTITAS ALJABARf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Rumus Ekspansi Deret Taylor & Maclaurin — Pendekatan Polinomial
Menyatakan fungsi mulus f(x) di sekitar titik pusat x = a sebagai deret pangkat tak hingga yang disusun dari turunan-turunan berurutannya.
Ringkasan Rumus
Rumus Utama
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Bentuk Turunan
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
Variabel & Satuan
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
Input & Parameter
[1]
[integer]
Hasil Perhitungan (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
Catatan & Penjelasan Rumus
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
Contoh Soal & Pembahasan
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
Apakah alat ini membantu Anda?
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Bagaimana cara menggunakan alat Rumus Ekspansi Deret Taylor & Maclaurin — Pendekatan Polinomial ini?+
Masukkan nilai parameter atau geser kontrol untuk menghitung dan memvisualisasikan Rumus Ekspansi Deret Taylor & Maclaurin — Pendekatan Polinomial dengan rumus f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ secara instan di browser Anda. Menyatakan fungsi mulus f(x) di sekitar titik pusat x = a sebagai deret pangkat tak hingga yang disusun dari turunan-turunan berurutannya.
Apakah hasil dari Rumus Ekspansi Deret Taylor & Maclaurin — Pendekatan Polinomial bisa diunduh atau dicetak?+
Ya! Alat ini mendukung ekspor grafik SVG/PNG resolusi tinggi, salin data CSV, serta cetak lembar kerja lengkap.
Bisakah saya menghapus data contoh di Rumus Ekspansi Deret Taylor & Maclaurin — Pendekatan Polinomial dan mulai dari kosong?+
Ya. Klik tombol kosongkan di bagian atas alat untuk memulai dengan kanvas bersih, atau muat ulang data contoh kapan saja.