04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンスf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
テイラー展開・マクローリン展開の公式 — 多項式近似リファレンス
滑らかな関数 f(x) を中心 x = a のまわりで高階微分係数を用いた無限べき級数として近似・表現する解析学の重要公式です。
公式リファレンス
基本公式
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
変形した式
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
入力値・パラメータ
[1]
[integer]
計算結果 (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
公式の解説・背景
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
具体的な計算例
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
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よくある質問（FAQ）
テイラー展開・マクローリン展開の公式 — 多項式近似リファレンスの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、テイラー展開・マクローリン展開の公式 — 多項式近似リファレンス（数式: f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。滑らかな関数 f(x) を中心 x = a のまわりで高階微分係数を用いた無限べき級数として近似・表現する解析学の重要公式です。
テイラー展開・マクローリン展開の公式 — 多項式近似リファレンスの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
テイラー展開・マクローリン展開の公式 — 多項式近似リファレンスのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。