04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
테일러 급수 및 매클로린 급수 공식 — 다항식 근사 정리
매끄럽게 미분 가능한 함수 f(x)를 기준점 x = a 근처에서 고계 도함수로 이루어진 무한 거듭제곱급수로 근사하는 공식입니다.
공식 요약
기본 공식
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
변형 공식
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
입력값 및 설정
[1]
[integer]
계산 결과 (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
공식 설명 및 배경
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
단계별 풀이 예제
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
테일러 급수 및 매클로린 급수 공식 — 다항식 근사 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 테일러 급수 및 매클로린 급수 공식 — 다항식 근사 정리 (공식: f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 매끄럽게 미분 가능한 함수 f(x)를 기준점 x = a 근처에서 고계 도함수로 이루어진 무한 거듭제곱급수로 근사하는 공식입니다.
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