04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
미적분학의 기본정리 (제1·제2 기본정리) — 공식 해설
정적분과 미분이 서로 정확한 역연산 관계임을 증명하여 미분학과 적분학을 하나로 연결하는 미적분학의 기둥 정리입니다.
공식 요약
기본 공식
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
변형 공식
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
입력값 및 설정
[1]
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[1]
[1]
계산 결과 (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
공식 설명 및 배경
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
단계별 풀이 예제
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
미적분학의 기본정리 (제1·제2 기본정리) — 공식 해설 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 미적분학의 기본정리 (제1·제2 기본정리) — 공식 해설 (공식: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 정적분과 미분이 서로 정확한 역연산 관계임을 증명하여 미분학과 적분학을 하나로 연결하는 미적분학의 기둥 정리입니다.
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