04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹس∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
کیلکولس کا بنیادی قضیہ (حصہ اول اور دوم) — حوالہ شیٹ
تفرقی اور تکملی کیلکولس کو آپس میں جوڑتا ہے اور ثابت کرتا ہے کہ معین تکملہ دراصل مشتق لینے کا معکوس عمل ہے۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
متبادل شکلیں
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[1]
[1]
[1]
حساب کا نتیجہ (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
حل شدہ مثالیں
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
کیلکولس کا بنیادی قضیہ (حصہ اول اور دوم) — حوالہ شیٹ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر کیلکولس کا بنیادی قضیہ (حصہ اول اور دوم) — حوالہ شیٹ (مساوات: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ تفرقی اور تکملی کیلکولس کو آپس میں جوڑتا ہے اور ثابت کرتا ہے کہ معین تکملہ دراصل مشتق لینے کا معکوس عمل ہے۔
کیا میں کیلکولس کا بنیادی قضیہ (حصہ اول اور دوم) — حوالہ شیٹ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں کیلکولس کا بنیادی قضیہ (حصہ اول اور دوم) — حوالہ شیٹ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔