04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹس∫ u dv = u · v − ∫ v du

بذریعہ اجزا تکملہ (Integration by Parts) — LIATE اصول اور کلیہ

تفرقی حاصلِ ضرب کے اصول کو الٹ کر دو تفاعلوں کے حاصلِ ضرب کے تکملے (انٹیگرل) کو آسان شکل میں حل کرنے کا طریقہ۔

فارمولا حوالہ

بنیادی فارمولا

∫ u dv = u · v − ∫ v du

متبادل شکلیں

∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx

d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)

∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C

متغیرات اور اکائیاں

متغیرات اور اکائیاں — Integration by Parts Formula — LIATE Rule & Definite Integral Form
Symbol	Name	Unit
I	Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts	dimensionless
x	Upper Integration Limit (x)	1
k	Exponential Rate Constant (k ≠ 0)	1

ان پٹ اور پیرامیٹرز

xUpper Integration Limit (x)[1]

kExponential Rate Constant (k ≠ 0)[1]

حساب کا نتیجہ (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)

I =8.389056dimensionless

فارمولے کی وضاحت اور نوٹس

Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.

حل شدہ مثالیں

#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.

u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2

[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1

→ e² + 1 ≈ 8.38906

#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.

u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x

∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx

→ x ln(x) − x + C

کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟

اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)

بذریعہ اجزا تکملہ (Integration by Parts) — LIATE اصول اور کلیہ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+

معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر بذریعہ اجزا تکملہ (Integration by Parts) — LIATE اصول اور کلیہ (مساوات: ∫ u dv = u · v − ∫ v du) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ تفرقی حاصلِ ضرب کے اصول کو الٹ کر دو تفاعلوں کے حاصلِ ضرب کے تکملے (انٹیگرل) کو آسان شکل میں حل کرنے کا طریقہ۔

کیا میں بذریعہ اجزا تکملہ (Integration by Parts) — LIATE اصول اور کلیہ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+

جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔

کیا میں بذریعہ اجزا تکملہ (Integration by Parts) — LIATE اصول اور کلیہ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+

جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔