04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিট∫ u dv = u · v − ∫ v du
আংশিক সমাকলন সূত্র (Integration by Parts) — LIATE নিয়ম ও নির্দিষ্ট সমাকলন
অন্তরীকরণের গুণন বিধি উল্টে দিয়ে দুটি ফাংশনের গুণফলের সমাকলনকে সহজ সমাকলনে রূপান্তর করার পদ্ধতি।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
∫ u dv = u · v − ∫ v du
রূপান্তরিত সূত্র
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[1]
গণনার ফলাফল (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
আংশিক সমাকলন সূত্র (Integration by Parts) — LIATE নিয়ম ও নির্দিষ্ট সমাকলন অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে আংশিক সমাকলন সূত্র (Integration by Parts) — LIATE নিয়ম ও নির্দিষ্ট সমাকলন (∫ u dv = u · v − ∫ v du সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। অন্তরীকরণের গুণন বিধি উল্টে দিয়ে দুটি ফাংশনের গুণফলের সমাকলনকে সহজ সমাকলনে রূপান্তর করার পদ্ধতি।
আমি কি আংশিক সমাকলন সূত্র (Integration by Parts) — LIATE নিয়ম ও নির্দিষ্ট সমাকলন থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি আংশিক সমাকলন সূত্র (Integration by Parts) — LIATE নিয়ম ও নির্দিষ্ট সমাকলন-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।