04 // Cẩm Nang Công Thức Tương Tác // BẢNG CÔNG THỨC GIẢI TÍCH, CHUỖI SỐ & HẰNG ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ∫ u dv = u · v − ∫ v du
Công Thức Tích Phân Từng Phần — Quy Tắc Nhất Lô Nhì Đa & Tích Phân Xác Định
Chuyển tích phân của tích hai hàm số phức tạp thành một tích phân đơn giản hơn bằng cách đảo ngược quy tắc đạo hàm của một tích.
Bảng công thức
Công thức chính
∫ u dv = u · v − ∫ v du
Các dạng suy ra
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
Biến số & Đơn vị
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
Dữ liệu đầu vào & Tham số
[1]
[1]
Kết quả tính toán (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
Ghi chú & Giải thích công thức
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
Ví dụ minh họa có lời giải
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
Công cụ này có hữu ích với bạn không?
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Làm thế nào để sử dụng công cụ Công Thức Tích Phân Từng Phần — Quy Tắc Nhất Lô Nhì Đa & Tích Phân Xác Định?+
Nhập các thông số hoặc kéo thanh trượt để tính toán và mô phỏng Công Thức Tích Phân Từng Phần — Quy Tắc Nhất Lô Nhì Đa & Tích Phân Xác Định theo công thức ∫ u dv = u · v − ∫ v du ngay lập tức trên trình duyệt. Chuyển tích phân của tích hai hàm số phức tạp thành một tích phân đơn giản hơn bằng cách đảo ngược quy tắc đạo hàm của một tích.
Tôi có thể tải xuống biểu đồ hoặc kết quả từ Công Thức Tích Phân Từng Phần — Quy Tắc Nhất Lô Nhì Đa & Tích Phân Xác Định không?+
Có! Công cụ hỗ trợ tải file SVG, PNG sắc nét, sao chép CSV hoặc in phiếu bài tập ngay lập tức.
Tôi có thể xóa dữ liệu mẫu trong Công Thức Tích Phân Từng Phần — Quy Tắc Nhất Lô Nhì Đa & Tích Phân Xác Định để nhập mới từ đầu không?+
Có. Nhấn nút xóa trống ở đầu công cụ để bắt đầu với bảng trống hoàn toàn, hoặc tải lại dữ liệu mẫu bất cứ lúc nào.