04 // Cẩm Nang Công Thức Tương Tác // BẢNG CÔNG THỨC GIẢI TÍCH, CHUỖI SỐ & HẰNG ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích (Phần 1 & Phần 2) — Bảng Tra Cứu
Thống nhất phép tính vi phân và tích phân bằng cách chứng minh rằng tích phân xác định chính là phép toán ngược của đạo hàm.
Bảng công thức
Công thức chính
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
Các dạng suy ra
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
Biến số & Đơn vị
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
Dữ liệu đầu vào & Tham số
[1]
[1]
[1]
[1]
Kết quả tính toán (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
Ghi chú & Giải thích công thức
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
Ví dụ minh họa có lời giải
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
Công cụ này có hữu ích với bạn không?
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Làm thế nào để sử dụng công cụ Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích (Phần 1 & Phần 2) — Bảng Tra Cứu?+
Nhập các thông số hoặc kéo thanh trượt để tính toán và mô phỏng Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích (Phần 1 & Phần 2) — Bảng Tra Cứu theo công thức ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x) ngay lập tức trên trình duyệt. Thống nhất phép tính vi phân và tích phân bằng cách chứng minh rằng tích phân xác định chính là phép toán ngược của đạo hàm.
Tôi có thể tải xuống biểu đồ hoặc kết quả từ Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích (Phần 1 & Phần 2) — Bảng Tra Cứu không?+
Có! Công cụ hỗ trợ tải file SVG, PNG sắc nét, sao chép CSV hoặc in phiếu bài tập ngay lập tức.
Tôi có thể xóa dữ liệu mẫu trong Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích (Phần 1 & Phần 2) — Bảng Tra Cứu để nhập mới từ đầu không?+
Có. Nhấn nút xóa trống ở đầu công cụ để bắt đầu với bảng trống hoàn toàn, hoặc tải lại dữ liệu mẫu bất cứ lúc nào.