04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）— 速查手册

揭示微分与积分互为逆运算的核心桥梁，展示如何用原函数在端点的差值精确计算定积分。

公式速查卡

核心公式

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)

变形公式

d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)

d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)

f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)

变量说明与单位

变量说明与单位 — Fundamental Theorem of Calculus (FTC Part 1 & Part 2) — Reference Sheet
Symbol	Name	Unit
I	Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx	dimensionless
a	Lower Limit of Integration (a)	1
b	Upper Limit of Integration (b)	1
c	Coefficient (c)	1
n	Power Exponent (n ≠ −1)	1

输入数值与参数

aLower Limit of Integration (a)[1]

bUpper Limit of Integration (b)[1]

cCoefficient (c)[1]

nPower Exponent (n ≠ −1)[1]

计算结果 (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)

I =8.666667dimensionless

公式说明与推导背景

Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.

f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3

∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3

→ 26/3 ≈ 8.66667

#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.

f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x

d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)

→ 2x cos(x²)

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