04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিট∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (১ম ও ২য় অংশ) — রেফারেন্স শিট
অন্তরীকরণ ও সমাকলনের মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে প্রমাণ করে যে নির্দিষ্ট সমাকলন মূলত অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
রূপান্তরিত সূত্র
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[1]
[1]
[1]
গণনার ফলাফল (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (১ম ও ২য় অংশ) — রেফারেন্স শিট অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (১ম ও ২য় অংশ) — রেফারেন্স শিট (∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x) সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। অন্তরীকরণ ও সমাকলনের মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে প্রমাণ করে যে নির্দিষ্ট সমাকলন মূলত অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া।
আমি কি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (১ম ও ২য় অংশ) — রেফারেন্স শিট থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (১ম ও ২য় অংশ) — রেফারেন্স শিট-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।