04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

链式法则、乘积法则与商法则 — 核心求导公式速查

全面梳理复合函数求导、两函数相乘与相除求导以及幂函数求导的核心微积分运算规则。

公式速查卡

核心公式

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

变形公式

d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)

d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)

d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)

变量说明与单位

变量说明与单位 — Chain Rule, Product Rule & Quotient Rule — Differentiation Sheet
Symbol	Name	Unit
h'(x)	Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ]	dimensionless
a	Inner Slope (a = g'(x))	1
b	Inner Intercept (b)	1
x	Evaluation Point (x)	1
n	Outer Power Exponent (n)	1

输入数值与参数

aInner Slope (a = g'(x))[1]

bInner Intercept (b)[1]

xEvaluation Point (x)[1]

nOuter Power Exponent (n)[1]

计算结果 (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])

h'(x) =4,116dimensionless

公式说明与推导背景

For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).

#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).

Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2

h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343

→ h'(2) = 4,116

#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.

u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1

y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4

→ y'(1) = 0.75

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