04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्रd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
श्रृंखला नियम (Chain Rule), गुणन और भाग नियम — अवकलन सूत्र शीट
संयुक्त फलनों, दो फलनों के गुणनफल, भागफल और घात फलनों के अवकलन के मुख्य नियमों की संपूर्ण संदर्भ शीट।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
अन्य रूप
d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)
d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| h'(x) | Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ] | dimensionless |
| a | Inner Slope (a = g'(x)) | 1 |
| b | Inner Intercept (b) | 1 |
| x | Evaluation Point (x) | 1 |
| n | Outer Power Exponent (n) | 1 |
इनपुट और मान
[1]
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गणना का परिणाम (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])
h'(x) =4,116dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
- The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
- Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).
हल किए गए उदाहरण
#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).
Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2
h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343
→ h'(2) = 4,116
#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.
u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1
y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4
→ y'(1) = 0.75
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
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