04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبرd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
قاعدة السلسلة ومشتقة الضرب والقسمة — مرجع قواعد الاشتقاق
القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال المركبة وحاصل الضرب وخارج القسمة ودوال القوى في حساب التفاضل.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
الصيغ البديلة
d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)
d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| h'(x) | Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ] | dimensionless |
| a | Inner Slope (a = g'(x)) | 1 |
| b | Inner Intercept (b) | 1 |
| x | Evaluation Point (x) | 1 |
| n | Outer Power Exponent (n) | 1 |
المدخلات والمعاملات
[1]
[1]
[1]
[1]
النتيجة المحسوبة (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])
h'(x) =4,116dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
- The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
- Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).
Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2
h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343
→ h'(2) = 4,116
#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.
u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1
y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4
→ y'(1) = 0.75
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة قاعدة السلسلة ومشتقة الضرب والقسمة — مرجع قواعد الاشتقاق أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة قاعدة السلسلة ومشتقة الضرب والقسمة — مرجع قواعد الاشتقاق وفق المعادلة d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x) فوريًا داخل متصفحك. القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال المركبة وحاصل الضرب وخارج القسمة ودوال القوى في حساب التفاضل.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج قاعدة السلسلة ومشتقة الضرب والقسمة — مرجع قواعد الاشتقاق؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في قاعدة السلسلة ومشتقة الضرب والقسمة — مرجع قواعد الاشتقاق والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.