04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبر∫ u dv = u · v − ∫ v du
قاعدة التكامل بالتجزئة — قاعدة LIATE والصيغة المحددة
تحويل تكامل حاصل ضرب دالتين إلى تكامل أبسط عبر عكس قاعدة مشتقة حاصل الضرب في التفاضل.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
∫ u dv = u · v − ∫ v du
الصيغ البديلة
∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx
d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)
∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts | dimensionless |
| x | Upper Integration Limit (x) | 1 |
| k | Exponential Rate Constant (k ≠ 0) | 1 |
المدخلات والمعاملات
[1]
[1]
النتيجة المحسوبة (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)
I =8.389056dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
- Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
- Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.
u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2
[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1
→ e² + 1 ≈ 8.38906
#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.
u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x
∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx
→ x ln(x) − x + C
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة قاعدة التكامل بالتجزئة — قاعدة LIATE والصيغة المحددة أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة قاعدة التكامل بالتجزئة — قاعدة LIATE والصيغة المحددة وفق المعادلة ∫ u dv = u · v − ∫ v du فوريًا داخل متصفحك. تحويل تكامل حاصل ضرب دالتين إلى تكامل أبسط عبر عكس قاعدة مشتقة حاصل الضرب في التفاضل.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج قاعدة التكامل بالتجزئة — قاعدة LIATE والصيغة المحددة؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في قاعدة التكامل بالتجزئة — قاعدة LIATE والصيغة المحددة والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.