04 // Compendium Interactif de Formules // FORMULES D'ANALYSE, SÉRIES ET IDENTITÉS ALGÉBRIQUES∫ u dv = u · v − ∫ v du

Formule d'intégration par parties — Règle ALPES / LIATE et intégrales définies

Méthode transformant l'intégrale d'un produit de fonctions en une intégrale plus simple en inversant la règle de dérivation d'un produit.

Fiche formule

Formule principale

∫ u dv = u · v − ∫ v du

Formes équivalentes

∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b v(x) u'(x) dx

d(u · v) = u dv + v du (Product Rule Differential Form)

∫ x e^(kx) dx = (x/k − 1/k²) e^(kx) + C

Variables et unités

Variables et unités — Integration by Parts Formula — LIATE Rule & Definite Integral Form
Symbol	Name	Unit
I	Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts	dimensionless
x	Upper Integration Limit (x)	1
k	Exponential Rate Constant (k ≠ 0)	1

Valeurs et paramètres

xUpper Integration Limit (x)[1]

kExponential Rate Constant (k ≠ 0)[1]

Résultat calculé (Definite Integral ∫₀ˣ t·e^(k·t) dt via Parts)

I =8.389056dimensionless

Explications et origine de la formule

Start with the product rule for differentiation: d/dx [u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x).
Integrate both sides with respect to x: u(x)v(x) = ∫ u(x)v'(x)dx + ∫ v(x)u'(x)dx.
Rearrange terms and substitute dv = v'(x)dx and du = u'(x)dx to obtain ∫ u dv = u v − ∫ v du.

Exemples détaillés

#1: Evaluate the definite integral ∫₀² x eˣ dx using integration by parts.

u = x ⇒ du = dxdv = eˣ dx ⇒ v = eˣLimits: a = 0, b = 2

[x eˣ]₀² − ∫₀² eˣ dx = (2e² − 0) − (e² − e⁰) = e² + 1

→ e² + 1 ≈ 8.38906

#2: Find the indefinite integral ∫ ln(x) dx.

u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dxdv = 1 dx ⇒ v = x

∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx

→ x ln(x) − x + C

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Questions Fréquemment Posées

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