04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبرf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
صيغة مفكوك متسلسلة تايلور وماكلورين — التقريب بكثيرات الحدود
تمثيل الدوال الملساء القابلة للاشتقاق $f(x)$ بالقرب من النقطة $x = a$ كمتسلسلة قوى لا نهائية مبنية من مشتقاتها المتتالية.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
الصيغ البديلة
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
المدخلات والمعاملات
[1]
[integer]
النتيجة المحسوبة (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة مفكوك متسلسلة تايلور وماكلورين — التقريب بكثيرات الحدود أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة مفكوك متسلسلة تايلور وماكلورين — التقريب بكثيرات الحدود وفق المعادلة f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ فوريًا داخل متصفحك. تمثيل الدوال الملساء القابلة للاشتقاق $f(x)$ بالقرب من النقطة $x = a$ كمتسلسلة قوى لا نهائية مبنية من مشتقاتها المتتالية.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة مفكوك متسلسلة تايلور وماكلورين — التقريب بكثيرات الحدود؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة مفكوك متسلسلة تايلور وماكلورين — التقريب بكثيرات الحدود والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.