04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبریf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
فرمول بسط سری تیلور و مک‌لورن — تقریب چندجمله‌ای توابع
نمایش یک تابع هموار و مشتق‌پذیر $f(x)$ در همسایگی نقطه $x = a$ به‌صورت سری توانی نامتناهی ساخته‌شده از مشتق‌های متوالی آن.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
فرم‌های بازآرایی‌شده
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[integer]
نتیجه محاسبه (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول بسط سری تیلور و مک‌لورن — تقریب چندجمله‌ای توابع چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول بسط سری تیلور و مک‌لورن — تقریب چندجمله‌ای توابع بر اساس رابطه f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. نمایش یک تابع هموار و مشتق‌پذیر $f(x)$ در همسایگی نقطه $x = a$ به‌صورت سری توانی نامتناهی ساخته‌شده از مشتق‌های متوالی آن.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول بسط سری تیلور و مک‌لورن — تقریب چندجمله‌ای توابع را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول بسط سری تیلور و مک‌لورن — تقریب چندجمله‌ای توابع پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.