04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹسd/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
چین رول، پروڈکٹ رول اور کوشنٹ رول — تفرقی کلیات شیٹ
مرکب تفاعلوں، حاصلِ ضرب، تقسیم اور قوت والے تفاعلوں کا مشتق (ڈیریویٹو) نکالنے کے بنیادی اصول۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
متبادل شکلیں
d/dx [u · v] = u'v + u v' (Product Rule)
d/dx [u / v] = (u'v − u v') / v² (Quotient Rule, v ≠ 0)
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (Power Rule)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| h'(x) | Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ] | dimensionless |
| a | Inner Slope (a = g'(x)) | 1 |
| b | Inner Intercept (b) | 1 |
| x | Evaluation Point (x) | 1 |
| n | Outer Power Exponent (n) | 1 |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[1]
[1]
[1]
حساب کا نتیجہ (Composite Power Derivative d/dx [(ax + b)ⁿ])
h'(x) =4,116dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- For a small increment Δx, the inner function changes by Δu = g(x + Δx) − g(x) ≈ g'(x)Δx.
- The outer function changes by Δy = f(u + Δu) − f(u) ≈ f'(u)Δu.
- Dividing by Δx and taking lim_{Δx→0} yields dy/dx = lim (Δy/Δu)(Δu/Δx) = f'(g(x)) · g'(x).
حل شدہ مثالیں
#1: Differentiate h(x) = (3x + 1)⁴ and evaluate h'(2).
Outer f(u) = u⁴ ⇒ f'(u) = 4u³Inner u = 3x + 1 ⇒ u' = 3x = 2
h'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³; at x = 2: 12 × 7³ = 12 × 343
→ h'(2) = 4,116
#2: Differentiate y = x² / (x + 1) using the Quotient Rule at x = 1.
u = x², u' = 2xv = x + 1, v' = 1
y' = [2x(x + 1) − x²(1)] / (x + 1)² = (x² + 2x) / (x + 1)²; at x = 1: 3 / 4
→ y'(1) = 0.75
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
چین رول، پروڈکٹ رول اور کوشنٹ رول — تفرقی کلیات شیٹ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر چین رول، پروڈکٹ رول اور کوشنٹ رول — تفرقی کلیات شیٹ (مساوات: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ مرکب تفاعلوں، حاصلِ ضرب، تقسیم اور قوت والے تفاعلوں کا مشتق (ڈیریویٹو) نکالنے کے بنیادی اصول۔
کیا میں چین رول، پروڈکٹ رول اور کوشنٹ رول — تفرقی کلیات شیٹ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں چین رول، پروڈکٹ رول اور کوشنٹ رول — تفرقی کلیات شیٹ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔